함수의 극한(4) : 응용문제 풀이, 샌드위치 정리

함수의 극한

1) 어느 극한의 극한값이 주어질 때, 다음 극한값을 구해보자.

극한값이 주어진 상황에서 극한 속에 들어간 함수를 구할 줄 알아야 하는 응용문제이다.

  

                            

(1) 문제에서 x 가 0 에 접근할 때, 분모의 값이 0 이 되어 R/0  꼴이 된다. 여기서 극한값이 존재하려면 R=0 이 되어야 한다.

따라서 이면 0/0 꼴이 되므로 답은 0이 된다.

(2) 위에서 0/0 꼴이 됨을 알 수 있었는데, 이 때 로피탈 정리를 사용할 수 있으므로 분모와 분자를 한번씩 미분한 값의 x 가 0 에 접근할 때의 극한값 역시 7이 된다.

분모와 분자를 한번씩 미분해도 R/0 꼴이 되므로 f 를 미분한 값에 0을 넣었을 때 0이 되어야 한다. 이 값을 (2)에 대입하면

으로 계산되므로 답은 0이 된다.

  

분모의 값이 0 이 되어 R/0  꼴이 된다. 극한값이 존재하려면 R=0 이 되어야 함을 알 수 있다. x 가 3에 접근할 때 분자가 0이 되어야 하므로 f(3) 의 값은 다음과 같이 구할 수 있다.

따라서 x 가 3에 접근할 때 f(x)의 극한값은 6이 된다.

2) 아래 주어진 극한에서 극한값이 존재하게 되는 a 값을 구하고, 그 때의 극한값을 구해보자.

위의 극한값에서 분모를 인수분해하면 다음과 같다.

x 가 2에 접근할 때 분모는 0이 되므로, 분자도 0이 되어야 극한값이 존재한다.

극한의 직접대입성질을 이용하여 분자에 2를 넣고 계산하면, a=-4 의 값을 구할 수 있다.

0/0 꼴의 극한은 로피탈의 정리를 이용하여 구할 수 있으므로 분모와 분자를 미분한 후 직접대입성질을 이용하여 극한값을 구한다.

답은 8이 된다. 

3) 샌드위치 정리를 사용하여 다음이 성립함을 확인해보자.

샌드위치 정리 : 조임정리 혹은 압축정리라고도 불린다.

x 가 a 근처에 있을 때 이고,

 x 가 a 에 접근할 때 f(x) 와 h(x) 의 극한값이 L 로 동일한 값을 가지면

  f(x) 와 h(x) 사이의 g(x) 의 극한값도 L 의 값을 가지게 된다.

  

위의 식에서  의 극한값은 존재하지 않는다. 그래서 극한법칙을 사용하여 구할 수 없다.

 하지만 sin(π/x) 는 항상 -1 과 같거나 크고, 1보다 같거나 작으므로,

위와 같은 부등식을 만들 수 있다.

이 때,

따라서 각 수식을

라고 하면, 문제에서 구하고자 하는 g(x) 의 극한 값은 샌드위치 정리에 의하여 0이 성립함을 알 수 있다.

  

위 식에서 지수함수를 정리하면,  와 같이 정리 된다. 하지만 x 가 0보다 큰 값에서 0에 접근할 때 sin(1/x) 의 극한값은 존재하지 않으므로 극한법칙은 성립하지 않는다.

sin(1/x) 는 항상 -1 과 같거나 크고, 1보다 같거나 작으므로, 위와 같은 부등식을 만들 수 있다.

이 때,

따라서 부등식의 각 수식을

라고 하면, 샌드위치 정리에 의하여 극한값 0이 성립함을 알 수 있다.

모두 같이 공부 열심히 해봅시다.