함수의 극한(3) : 극한에서 극한값 구하기 (문제풀이 : 루트, 삼각함수, 절댓값이 들어간 함수, 자연지수함수의 극한, 로피탈 정리)

함수의 극한

1) 아래의 극한에서 극한값이 존재한다면 그 값을 구해보자.

  

분모나 분자에 루트가 들어간 문제이다.

분자에 루트 식이 있으므로 켤레근호식을 분모와 분자에 곱한 후 정리하면 값을 구할 수 있다.

h 가 0에 접근할 때의 극한값을 직접대입성질을 이용하여 구한다.

∴ 1/8

  

위의 (1)과 마찬가지로 분자의 켤레근호식을 분모와 분자에 곱한 후 정리하면 값을 구할 수 있다.

  

극한법칙을 이용하여 답을 구할 수도 있지만 ∞ 는 수가 아니므로 무한극한에 극한법칙을 적용할 수 없다.

따라서 x>0 일때의 극한이므로 x의 절댓값은 + 값이 되므로

이고, 극한값이 음의 무한대에 가까워지는 수이기에 극한값은 존재하지 않는다.

  

위의 (3)과 같이 극한법칙의 합의법칙을 이용하여 계산할 때, ∞ 는 수가 아니므로 무한극한에 극한법칙을 적용할 수 없다.

즉, ∞-∞는 정의 될 수 없다.

따라서 이 극한의 극한값을 구하려면 켤레근호식을 곱하고 나눈 후 정리하여 구할 수 있다.

  

문제의 극한값을 L 이라고 가정해보자

아크탄젠트는 탄젠트함수의 역 이므로 탄젠트 함수를 양 쪽에 취해주면 tan L = ∞ 라는 식을 얻게 된다.

이때, 양의 무한대의 값을 가지는 L 의 값은

 

이다.

  

자연지수함수가 들어간 극한이고, 극한법칙을 이용해 보면 ∞/∞ 꼴의 값이 나오기 때문에 극한법칙을 적용 할 수 없다.

∞/∞ 꼴에서 로피탈 정리를 이용할 수 있으므로 아래와 같이 극한 값을 구할 수 있다.

  

위 공식은 극한법칙에서 곱의 법칙을 사용하여 쉽게 구할 수 있다.

e^(-3x) 의 x 가 양의 무한대로 접근하는 극한 값은 1/∞ 로 0이 된다. 0에 무엇을 곱해도 0이 되므로 아래와 같이 답은 0이 된다.

  

ln x 를 t 라고 가정한 후 극한에 대입을 하여 식을 정리하면 

 이다. 이 때 극한값을 L 로 가정하고 양쪽에 tan 를 취하면 아래와 같다.

tan x 가 -∞ 의 값을 가질 때, L 은

이다.

  

삼각함수가 들어간 극한의 계산에서 극한의 직접대입성질을 이용하면, 0/0 꼴의 극한 값을 얻을 수 있다.

이 경우 로피탈 정리를 사용하여 구해보면 아래와 같다.

∴ 1/3

모두 같이 공부 열심히 해봅시다.