함수의 극한(2) : 무한대에서 극한, 문제풀이 (수직점근선, 수평점근선)

함수의 극한

1) 무한대에서 극한

함수 f(x) 가 구간 (a,∞) 에서 정의된다고 가정한다.

x 가 양의 무한대로 접근할 때 f(x) 의 극한은 L 이다.

x 가 음의 무한대로 접근할 때 f(x) 의 극한은 L 이다.

위의 수식 중 하나라도 해당되면, y = L 을 곡선 y = f(x) 의 수평점근선이라고 한다.

이전에 x -> a 로 알아보았던 극한법칙들은 무한대의 극한에서도 성립한다.

2) 문제풀이

 1. 아래 함수의 수직점근선을 구해보자.

위의 수식에서 극한이 무한의 값이 나오려면 R/0 의 형태를 가져야 한다. 즉, 분모가 0 이 되어야 하므로 x 는 다음과 같은 값을 가진다.

이때,

∴ 수직점근선은 직선  이다.

 2. 수직점근선과 수평점근선을 구해보자.

① 수직점근선 구하기

식을 정리하면 위와 같고, 분모가 0 의 값을 찾으면 x=-2 or 1 이다.

이 때,

따라서 수직점근선은 

∴ 직선 x=-2 ,  x=1 이다.

② 수평점근선 구하기

이 수식은 ∞/∞ 꼴로 로피탈 정리를 이용하여 무한대의 극한 값을 구할 수 있다.

따라서 수평점근선은

∴ 직선 y=3 이다.

① 수직점근선 구하기

위 식에서 분모가 0의 값을 구하면 x=ln2 이다.

이 때,

따라서 수직점근선은

∴ 직선 x=ln2 이다.

② 수평점근선 구하기

자연상수의 지수함수에서 음의 무한대로 접근할 때 극한 값은 다음과 같다.

 

따라서 수식을 정리하면

이다.

양의 무한대로 접근할 때 극한 값은 다음과 같다.

따라서 위와 같이 정리하여 계산하면

이다.

수평점근선은

∴ 직선 y=0, y=3 이다.

 3. 아래 조건을 만족하는 함수 f의 식을 찾아보자.(수직점근선, 수평점근선 판단)

함수 f 를 위와 같이 가정한다.

첫번째 조건으로 h(x) 의 차수가 g(x) 의 차수보다 크다는 것을 알 수 있다.

두번재 조건으로는 R/0 꼴이 되어야 하므로 h(x) 에 해가 0 인 x 가 존재하고, x 가 0에 접근할 때 항상 음의 무한대로 향하는 값을 가지기 때문에 h(x)=x^2 이 된다.

세번째 조건으로 g(x)=x-3 이라는 수식이 나온다.

네번째, 다섯번째 조건으로 h(x)=x^2(x-2) 라는 수식이 나온다. 두번째 조건과 함께 부호를 맞춰야 하므로 g(x)=-(x-3) 으로 하였다.

따라서, 수식 f 는 다음과 같다.

∴

모두 같이 공부 열심히 해봅시다.