함수의 극한(1) : 극한의 정의, 극한법칙, 극한공식(로피탈 정리, 삼각함수, 지수,로그함수)

함수의 극한

*맨 밑에 이 글에 사용된 핵심 공식을 모아둔 이미지가 있습니다.* 

1) 극한의 정의

x 가 a 에 접근할 때 f(x) 의 극한은 L이다.

한쪽극한 : 위에 나타낸 수식의 왼쪽을 좌극한, 오른쪽을 우극한 이라고 한다.

좌극한은 x 가 a 보다 작으면서 a 에 접근할 때 f(x) 의 좌극한은 L 이다.

우극한은 x 가 a 보다 크면서 a 에 접근할 때 f(x) 의 우극한은 L 이다.

의 필요충분조건은 이다.

좌극한과 우극한이 다르면 x가 a 에 접근할 때의 극한은 존재하지 않는다.

무한극한 :  위의 수식들 중 하나라도 해당되면, 직선 x = a 를 곡선 y = f(x) 의 수직점근선 이라 한다.

2) 극한법칙

합의 법칙 : 합의 극한은 극한의 합과 같다.

차의 법칙 : 차의 극한은 극한의 차와 같다.

상수 곱의 법칙 : 함수의 상수배의 극한은 근한의 상수배와 같다.

곱의 법칙 : 곱의 극한은 극한의 곱과 같다.

몫의 법칙 : 몫의 극한은 극한의 몫과 같다. (단, 분모의 극한은 0이 아님)

멱의 법칙 : 곱의 법칙에 g(x) = f(x) 을 반복적으로 적용하여 얻을 수 있는 법칙이다.

근호 법칙 : f(x) 가 연속이고, 극한이 존재 할 때 극한기호는 함수기호 속으로 옮겨 질 수 있다.

 

연속함수 f 와 g 를 결합하여 새로운 연속함수 즉, 합성함수 f ˚ g 를 만든 후 정리함으로써 증명할 수 있다.

3) 자주쓰는 극한공식

직접대입성질 : f 가 다항식이거나 유리함수이고 a 가 f 의 정의역 안에 있을 때 가지는 성질이다.

 구간 A : (a-δ,a+δ)

로피탈 정리 : 다음과 같은 가정 하에 로피탈 정리가 성립한다.

가정 1. f(x) 와  g(x) 가 구간 A 에서 연속이고, a 를 제외한 구간 A 에서 미분가능하다. 

가정 2. a 를 제외한 구간 A 에서 g(x) ≠ 0

가정 3. f(x) = 0, g(x) = 0

아래와 같은 조건 에서도 성립하므로, 부정형(0/0, ∞/∞)의 극한값을 구할 때 주로 사용한다.

삼각함수 극한

지수, 로그함수의 극한 (자연상수)

*이 글에 사용된 핵심 공식*

-극한법칙-

-자주쓰는 극한 공식-

   ※ 1, 2 같은 경우 예외 위의 글 설명 참조 바람 ※

모두 같이 공부 열심히 해봅시다.