연속성 : 정의, 불연속성 함수의 연속조건, 연속함수, 중간값 정리

연속성

1) 연속성의 정의

  1. 조건

함수 f(x) 의 x = a 에서의 연속일 조건

(1) f(a) 가 정의된다.

(2) 가 존재한다.

(3)  이다.

중단이나 갑작스러운 변화 없이 점진적으로 일어나는 것을 연속적이라고 한다.

위의 조건을 만족하지 않고, f(x) 가 a 에서 연속이 아닐 때 f(x) 는 a 에서 불연속 혹은 불연속성을 갖는다고 한다.

  2. 불연속성을 연속성이게 하는 조건

f(x) 의 a에서 불연속성을 가질 때

 

 이면 f(x) 는 a 의 오른쪽에서 연속이라고 하고, 

이면 f(x) 는 a 의 왼쪽에서 연속이라고 한다.

(1) f(x)=x+1 함수로 정리할 수 있지만 f(3) 값이 존재하지 않는다.

f(3) 에서 다시 정의하면 불연속성을 제거할 수 있기 때문에 제거가능하다고 한다. f(x) 는 3 의 오른쪽에서 연속, 왼쪽에서 연속이다.

(2) 이 함수는 (1) 과 마찬가지로 f(x)=x+1 함수로 정리할 수 있지만 f(3)=1 으로 x 가 a 에 접

근할 때 f(x) 의 극한값은 f(a) 와 같지 않으므로 불연속하다.

이 함수 역시 f(3) 에서 다시정의하여 불연속성을 제거할 수 있으므로 제거가능하다. f(x) 는 3 의 오른쪽에서 연속, 왼쪽에서 연속이다.

(3)  이 함수는 x 가 0에 접근할 때 f(x) 의 극한값은 음의 무한대이거나 양의 무한대로, 존재하지 않는다.

따라서 이 함수는 불연속 함수이며, 이와 같은 불연속을 무한불연속이라고 한다. f(x) 는 0 의 오른쪽에서 연속, 왼쪽에서 연속이다.

(4)  계단모양의 그래프를 갖는 이 함수는 불연속성을 갖고있으며, 한 값에서 다른 값으로 도약하기 때문에 도약불연속

이라고 한다. f(x) 는 정수 n 에서 오른쪽연속이다.

2) 연속함수

  1. 다음과 같은 종류의 함수들은 정의역상 즉, 그 함수가 정의된 곳의 모든 점에서 연속이다.

(1) 다항식                (2) 유리함수                (3) 제곱근함수                (4) 삼각함수                (5)역삼각함수

(6) 지수함수             (7) 로그함수

* 합성함수 : f 와 g 두 연속함수를 결합하여 새로운 연속함수를 만들 수 있다.

f 와 g 의 합성함수  는

 g 가 a 에서 연속이고, f 가 g(a) 에서 연속이면,

 합성함수 f ˚ g 는 a 에서 연속이다.

연속함수의 연속함수는 연속이다. 

위의 정리는 함수가 연속이고 극한이 존재할 때 극한기호는 함수기호의 속으로 옮겨 질 수 있음을 보여준다.

  2. 복잡한 연속함수의 연속성

연속함수 속의 간단한 연속함수가 아래의 정리를 만족하면 연속이라고 할 수 있다.

f 와 g 가 a 에서 연속이고 c 는 상수이다. 

(1) f + g 는 연속이다.

(2) f - g 는 연속이다.

(3) cf or cg 는 연속이다.

(4) fg 는 연속이다.

(5) f/g (g(a)≠0일 때) 는 연속이다.

3) 중간값 정리

f(x) 가 폐구간 [a , b] 에서 연속이고, f(a) 와 f(b) 사이에 A 라는 어떤 값이 존재 할 때, f(c)=A 라는 c 가 개구간 (a , b) 내에 존재한다.

불연속인 경우를 생각하면 그래프에 구멍이 있거나 끊어진 부분이 존재하므로 연속함수에서 중간값 정리가 성립함을 알 수 있다. 즉, 불연속성을 가진 함수에서는 중간값 정리가 성립하지 않는다.

  1. 중간값 정리를 이용하여 방정식의 해가 각 구간에 존재함을 알아보자.

위 식을 정리하면,

 이고 이 식을 f(x) 라 하자.

방정식의 해 f(c)=0 이 구간 (0 , 1) 사이에 존재해야 하므로 f(0), f(1) 을 각각 구한다.

f(0) < 0  ,  f(1) > 0  따라서  이므로 구간(0 , 1) 사이에 방정식의 해가 적어도 하나의 근 c 를 갖는다. 

모두 같이 공부 열심히 해봅시다.