도함수 : 접선(기울기, 접선의 방정식), 속도, 도함수(미분계수), 변화율

도함수

1) 접선

  1. 접선의 기울기

곡선의 방정식이 y=f(x) 일 때, 점 P(a , f(a)) 에서의 접선을 구하려면 인접한 점 Q(x , f(x)) (x≠a) 와 이어진 할선 PQ 의 기울기 를 구한다.

 

여기서 x 를 a 에 접근시키면 점 Q 가 곡선을 따라 P 에 접근하게 된다.

 가 존재할 때, 기울기는 m 인 직선을 접선이라고 한다. 

곡선의 한점에서의 접선의 기울기를 그 점에서 곡선의 기울기 라고도 한다.

*접선의 기울기는 아래와 같이 표현할 수도 있다.

위의 식에서 h = x - a 라 하자. 이 때, x = a + h 이다. a 와 h 에 대한 식으로 나타낼 수 있으며 아래와 같다.

h>0 일 때 Q 는 P 의 오른쪽에 존재하고, h<0 일 때 Q 는 P 의 왼쪽에 존재한다.

x 가 0 에 접근할 때, h 는 0 에 접근한다.

  2. 접선의 방정식은 y - f(a) = m(x - a) 이다.

2) 속도

 < 운동방정식

s : 시간 t 에 물체가 원점으로부터 이동한 변위

t : 물체가 움직인 시간

f(x) : 운동을 나타내는 위치함수

위치의 변화  일 때, 

 이다.

여기서 h 를 0 에 접근시키면 t = 0 에서의 속도 또는 순간속도 v(a) 를 얻을 수 있다. 

이 속도는 s 그래프에서 t = a 일 때 점 (a , f(a)) 의 접선의 기울기와 같다.

3) 도함수 (미분계수)

위와 같은 형태의 극한은 변화율을 계산할 때 자주 쓰이는 형태이다.

' f 프라임 a '라고 읽는다.

위 극한이 존재할 때, 이 극한을 a 에서 함수 f 의 도함수 또는 미분계수라고 한다.

* f(x) 의 a 에서의 접선은 점 (a , f(a)) 를 지나고 a 에서 f 의 미분계수인 f '(a) 를 기울기로 갖는 직선이다.

4) 변화율

y = f(x) 의 함수에서

x 가 x1 에서 x2 로 변할 때 x 의 변화량 (x의 증분)

이 때, y 의 변화량

 

델다 x 와 델타 y 의 비를 x 에 관한 y 의 평균변화율 이라고 한다.

x2 를 x1 에 접근시킬 때의 평균변화율을 순간변화율 이라고 한다.

즉, 평균변화율의 극한이 순간변화율

* f '(a) 는 x = a 일 때 y = f(x) 의 x 에 대한 순간변화율이다.

모두 같이 공부 열심히 해봅시다.